本书源自华侨天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加州大学洛杉矶分校领导实分析课程的教材，自第1版出书以来一直深受读者贵重。原书分为两卷，中译本将其归并出书。

全书从分析的源泉——数系的结构和网络论运行，然后引向分析基础，再参加幂级数、多元微分学和傅里叶分析，终末先容勒贝格积分，简直完全是以具体的实直线和欧几里得空间为配景，竣工聚积了严格性和直不雅性。

本书将先容高等实分析，这是对于实数、实数序列、实数级数以及实值函数的分析。天然实分析与复分析、调节分析以及泛函分析是策动的，但与它们又是不同的。复分析是对于复数和复函数的分析；调节分析是对于调节函数（振动）的分析，比如正弦振动，并谈判这些函数如何通过傅里叶变换构造其他函数；泛函分析谈判的内容主要网络在函数上（以及这些函数如何构造出如向量空间这么的东西）。

分析学是对这些对象进行严格谈判的学科，何况效劳于对这些对象作念出准确的定性和定量分析。实分析是微积分学的表面基础，而微积分是咱们在解决函数时所用到的计较章程的网络。

以下是《陶哲轩实分析（第3版）》的弁言。

来源 | 《陶哲轩实分析（第3版）》

作家 | [澳]陶哲轩（Terence Tao）

译者 | 李馨

本书的内容来源于我2003年在加州大学洛杉矶分校给本科生教师高等实分析系列课程时所用的教材。该校的本科生遍及以为实分析是最难学的课程之一，其原因不单是在于学生都是第一次战役许多概述的见识（比如：拓扑、极限、可测性等），还因为本课程对于严格性和评释的要求较高。恰是由于理会到学习本课程存在这么的贫瘠，教师在讲课时通常靠近着如下两种重荷的接管：要么接管镌汰课程的严格性，让学习变得愈加容易；要么对峙本课程学习中的严格模范，但是这么大部分本科生在阅读学习材料时就会尽头吃力，包括那些既智谋又有学习祥和的学生。

面对这种进退失踞的步地，我尝试遴选一种稍不寻常的步调来领导本课程。按照常常的教会步调，实分析的导论部分都假设学生依然尽头了解实数、数学归纳法、初等微积分和网络论基础等学问，何况很快参加课程的中枢部分，比如极限的见识。正常情况下，当学生学到中枢内容时，教材会先容必需的方案学问，但是大部分教材都不会对这些方案学问进行详备的叙述。举例，天然学生能够直不雅地设想出实数和整数，何况对它们进行代数运算，但是很少有学生能够信得过界说实数或者整数。在我看来，这真的是错失了一个尽头好的契机。实分析、线性代数和概述代数是学生来源学习的三门课程。通过对实分析的学习，学生能够信得过地理会到严格数学评释的精妙之处。因此，这门课程为咱们提供了一个纪念数学基础学问的绝佳契机，出奇是为咱们正确全面掌捏实数的实质提供了良机。

因此，本课程将按照如下的款式张开。第一周，我将给出分析表面中一些比拟着名的“悖论”。在这些悖论中，分析表面中的模范规章（如：极限运算与和运算的交换规章，或者和运算与积分运算的交换规章）按照不严格的款式来应用，就会得到一些荒唐的论断，如0=1。这就启发咱们要回到这门课程的开端，以致回到天然数的界说，并要求咱们对总计基础表面从新进行考据。举例，给学生的第一个家庭功课就是（只驾驭皮亚诺公理）评释对总计的天然数，加法聚积律均成立（即对纵容的天然数 a、b、c，(a + b) + c = a + (b + c) 均成立，见习题2.2.1）。是以，即就是在刚运行学习本课程的第一周，学生也必须驾驭数学归纳法写出严格的评释进程。在推导出天然数的总计基人性质之后，咱们将运行学习整数（整数领先被界说为天然数的阵势差）。一朝学生能评释整数的总计基人性质，咱们将运行学习有理数（有理数领先被界说为整数的阵势商）。然后，咱们（通过柯西序列的阵势极限）来学习实数的策动学问。在学习上述内容的同期，咱们也会学习网络论的一些基础学问，举例，对实数不可数性质的诠释。只消在学完以上这些内容后（简略十讲之后），咱们才运行学习东谈主们常常以为的实分析的中枢部分：极限、一语气性、可微性等。

按照这么的款式来学习，学生在总计这个词学习进程中的反应尽头有趣。在领先的几周中，因为只需要掌捏模范数系的一些基人性质，是以学生以为教材在见识层面上长短常简便的。但是在学问层面上，教材尽头具有挑战性。这是由于为了从数系较原始的属性中严格地推导出更高等的属性，咱们是从最基础的不雅点来分析数系的。有又名学生也曾告诉我，他很难向那些莫得学习过高等实分析课程的一又友解释明晰如下两个问题：(a)为什么当我方还在学习如何评释有理数只可为正、负或者零（习题4.2.4）时，那些学习非高等实分析课程的学生依然在学习如何诀别级数的十足管制和条款管制；(b)即便如斯，为什么嗅觉我方的家庭功课要比那些同学的更难。另外一位学生尽头烦闷地告诉我，尽管她很明晰为什么一个天然数 n 除以一个正整数 q 不错得到一个商a 和一个小于 q 的尾数 r（习题2.3.5），但是要评释这个事实对她来说尽头贫瘠，这令她很报怨。（我告诉她在后续课程中，有些命题的正确性并不是可想而知的，而且她一定能够学会评释这些命题。但是，她看起来并莫得因为我说的这些而感到愉快。）然则，这些学生仍然尽头可爱作念家庭功课，因为他们通过我方的不懈勤奋，给出了对于某个直不雅事实的严格评释，这加强了范例数学的概述解决与对数学（以及实际天下）的不范例直观之间的策动，让他们感到尽头傲气。当被要求给出实分析中令东谈主厌恶的“ε − δ”评释时，他们依然通过大批的锻真金不怕火变成了直不雅见识何况依然理会到数理逻辑的精妙之处（举例：“纵容”和“存在”两种表述的区别），这么他们就能够鄙俚地过渡到“ε − δ”这种评释，同期咱们也能够快速深入地开展课程。到第十周，咱们就依然赶上非高等实分析课程的程度，学生也运行考据黎曼-斯蒂尔杰斯积分的变量替换公式，何况评释分段一语气的函数是黎曼可积的。到第二十周，本系列课程就要罢了的时候，咱们依然（通过课堂申诉和家庭功课）学习了泰勒级数和傅里叶级数的管制表面，以及多元一语气可微函数的反函数和隐函数定理，何况竖立了勒贝格积分的结果管制定理。

为了充分驾驭本材料，许多环节性的基础论断都作为家庭功课留给学生我方去评释。事实上，这是本课程尽头紧迫的少量，因为这么不错保证学生信得过掌捏了这些紧迫的见识。这种模式将保留在学习本书的总计这个词进程当中。绝大部分的习题都是评释课本中的引理、命题和定理。如果你但愿驾驭本书来学习实分析，那么我热烈冷漠你尽量多作念这些习题，包括那些论断看起来“深远”成立的习题。这门课程的精妙之处不是通过单纯地阅读就不错掌捏的。本书绝大部分章节的终末都给出了大批的习题供大家学习。

对于专科的数学职责者来说，本书的节律可能稍许有些慢，出奇是刚运行的几章，禁绝强调了严格性（明确象征为“非正经”的筹商内容之外），何况对那些常常被以为深远成立、不错一带而过的圭表进行了论证。前几章（通过繁琐的评释）给出了模范数系中许多“深远”成立的性质，举例，两个正实数之和仍然是正的（习题5.4.1），或者纵容给定的两个不相配的实数之间一定存在有理数（习题5.4.5）。这些基础章节也强调了非轮回论证。所谓非轮回论证是指不可驾驭背面愈加高尚的学问来评释前边那些低级的表面。出奇是普通代数运算规章，在被推导出来之前是不可被使用的（另外，要分别评释代数运算规章在天然数、整数、有理数、实数中均是成立的）。这么作念是为了让学生学会驾驭给定的有限条款进行概述推理，并推导出正确的论断。不停进行这么的锻真金不怕火有助于学生在后期学习中，遴选一样的推理手段来掌捏愈加高尚的见识（如勒贝格积分）。

因为本书来源于我领导实分析课程时所用的教材，是以主要从教会的角度张开；许多环节性的贵寓都包含在习题当中。很厚情况下，我遴选了冗长且乏味但具有培植酷爱的评释进程来代替平淡概述的评释。在更深脉络的教科书中，学生将会发现这些材料的篇幅变得更省略，见识更凝练；而且书中愈加强调直不雅性而非严格性。但是，我以为起始了解如何严格地“入手”进行分析尽头紧迫，因为这有助于学生在谈判生及更高的学习阶段中，更好地掌捏当代、直不雅、概述的分析步调。

本书禁绝强调了严格性和阵势化。但是，这不料味着遴选本书作为教材的课程都要按照这么的款式来张开。其实，我在教会进程中会向学生展示愈加直不雅的见识（画一些非范例的图形并举一些具体的例子），从而对书中正经的讲课内容给出补充不雅点。那些被竖立为家庭功课的习题是贯串直不雅形象和见识的紧迫桥梁，它们要肄业生把直不雅形象和阵势理会聚积起来，匡助学生正确地论证题目。我发现这对于学生来说是最贫瘠的任务，因为这要肄业生必须信得过理会所学的学问，而不单是记着学习内欢喜者囫囵吞枣地继承。然则，我从学生那处得到的反应是：天然基于上述原因，家庭功课对他们来说是有些吃力，但是对他们也有很大益处，因为这些功课使他们能够把范例数学的概述解决与对基本见识（如数、网络、函数）的直不雅嗅觉策动起来。天然，在这个进程中，优秀助教的匡助也尽头紧迫。

对于考试部分，我冷漠遴选如下两种款式之一：一种是开卷考试，题目不错访佛于本书的习题（题目内容不错愈加省略，解题的念念路愈加惯例）；另外一种是家庭功课式的磨练，内容应该包含解题念念路较为复杂的题目。因为实分析所包含的内容尽头宽泛，是以不应该免强学生去挂牵界说和定理。因此，我不冷漠遴选闭卷考试，也不冷漠遴选那种通过对竹素内容进行反刍式的压缩而作念的考试。（事实上，在考试中，我会为学生提供一张附页，这张附页会列出与本次考试内容策动的环节性界说和定理。）将考试竖立成访佛于家庭功课的阵势，有助于促进学生厚爱、全面地温习和理会功课中的问题（相对于那些使用教会卡片或者访佛的教会器具来让学生挂牵教材内容的款式），这不单是有助于学生备考，同期也能匡助他们为一般的数学谈判作念好准备。

本书中的一些材料相对于主题而言是次要的，如果工夫有限，不错忽略此部老实容。举例，网络论不像数系那样是分析表面的基础内容，是以策动网络论的章节（第3章和第8章）不错不那么严格地快速略讲，或者把这部老实容四肢阅读贵寓。附录中对于逻辑学和十进制的内容不错作为选学或者补充阅读内容，无用在课堂上教师；附录中的逻辑学部分出奇适合在教师前几章时作为阅读材料使用。另外，第16章（对于傅里叶级数）在本书的其他部分用不到，不错略去。

鉴于篇幅的启事，本书分为两卷第一卷的篇幅稍长，但是若将那些次要的材料忽略或者删减掉，本卷不错分为大要30讲来领导。第二卷会通常涉收用一卷的内容，但是针对依然通过其他贵寓学习过分析论初学课程的学生，不错胜仗向他们教师第二卷的内容。第二卷也分为大要30讲完成。

01

《陶哲轩实分析（第3版）》

作家：[澳]陶哲轩（Terence Tao）

译者：李馨

本书源自华侨天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加州大学洛杉矶分校领导实分析课程的教材。

全书从分析的源泉——数系的结构和网络论运行，然后引向分析基础，再参加幂级数、多元微分学和傅里叶分析，终末先容勒贝格积分，简直完全是以具体的实直线和欧几里得空间为配景，竣工聚积了严格性和直不雅性。

02

《陶哲轩教你学数学》

作家：陶哲轩

译者：李馨

菲尔兹奖得主陶哲轩数学念念维大解析，通过奥数竞赛习题解答，带你理会数学之好意思。

本书是海外驰名数学家陶哲轩15岁时的文章，从青少年的角度分析数学问题，主如果数学竞赛等智力谜题，用学生的话语解释念念考进程，完整展现了少年陶哲轩的解题念念路。

03

《复分析：可视化步调》

作家：[好意思]特里斯坦·尼达姆

译者：王人民友

本书用一种信得过不同寻常的、独具创造性的视角和不错看得见的论证款式解释初等复分析的表面，公开挑战面前占总揽地位的纯象征逻辑推理。

本书是在复分析领域产生了宽泛影响的一册文章。作家自出机杼，用丰富的图例展示多样见识、定理和评释念念路，十分便于读者理会，充分揭示了复分析的数学好意思。

04

《数学分析概论（岩波定本）》

作家：[日]高木贞治

译者：冯速 高颖

日本数学的不灭名著，哺养小平邦彦、伊藤清等一代数学家的“数学圣经”

日本数学家、“日本当代数学之父”高木贞治创作的分析学初学名著。

衔接古典与当代的集大成之作，它被誉为日本当代数学发展的“不动之根基”，也成为日本总计微积分教材、专著的参考原点。

05

《泛函分析导论及应用》

作家：[加]欧文•克雷斯王人格

译者：蒋正新 吕善伟 张式淇

泛函分析学习的优秀初学书，被西洋宽绰大学宽泛用作数学系、物理系本科生和谈判生的教材，深入浅出、深远易懂，富足学问性和道感性，可用于自学。

简略、门槛低、有谜底、可自学，推选给遒劲工科学生。

本文经授权转载自微信公众号“图灵新知”。

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